Ще докажем ключовия резултат, че всяко нелинейно обикновено диференциално уравнение от 4-ти ред, чиято диференциална група на Галоа на нормалните уравнения в първи вариации е комплексната симплектична група
\[ Sp(4,\mathbb{C}) \]
и за което съществува \( k \ge 2 \), такова че диференциалната група на Галоа на нормалните уравнения в \( k \)-ти вариации е различна от
\[ Sp(4,\mathbb{C}), \]
е силно нередуцируемо.
Първо приложение на това твърдение ще бъде пресмятането на псевдогрупата на Галоа на вторите членове на йерархиите на второто, третото и четвъртото уравнение на Пенлеве и доказването на силната нередуцируемост на съответните уравнения.
Ще изследваме силната нередуцируемост на някои други нелинейни обикновени диференциални уравнения от четвърти ред, които притежават свойството на Пенлеве.
Ще обобщим горния ключов резултат, доказвайки, че всяко нелинейно обикновено диференциално уравнение от ред \( 2n \), чиято диференциална група на Галоа на нормалните уравнения в първи вариации около алгебрично частно решение е симплектичната група
\[ Sp(2n,\mathbb{C}), \]
и за което съществува \( k \ge 2 \), такова че диференциалната група на Галоа на нормалните уравнения в \( k \)-ти вариации е различна от
\[ Sp(2n,\mathbb{C}), \]
е силно нередуцируемо.
Ще изследваме намерените от японската школа системи на Пенлеве от висок ред. За някои стойности на параметрите тези системи имат алгебрични частни решения. В този случай можем да приложим установените вече ключови резултати, за да докажем тяхната силна нередуцируемост.
Като страничен резултат ще бъде пресметната диференциалната група на Галоа на семейства от уравнения на Бесел от висок ред.